If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are vectors in space given by $\vec{a}=\frac{\hat{i}-2\hat{j}}{\sqrt{5}}$ and $\vec{b}=\frac{2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}}{\sqrt{14}}$, then find the value of $\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\right]$.

$\text{Given: } \vec{a}=\dfrac{\hat{i}-2\hat{j}}{\sqrt{5}}, \qquad \vec{b}=\dfrac{2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}}{\sqrt{14}}$

$|\vec{a}|^2=1, \qquad |\vec{b}|^2=1 \quad (\text{unit vectors})$

$\text{To find: } \left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\right]$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1(2)+(-2)(1)+0(3)}{\sqrt{5}\,\sqrt{14}}$

$=\dfrac{2-2}{\sqrt{70}}=0$

$\text{Plan: } 1.\ \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\quad |\vec{a}|=|\vec{b}|=1$

$2.\ (\vec{p}\times\vec{q})\times\vec{r}=(\vec{p}\cdot\vec{r})\,\vec{q}-(\vec{q}\cdot\vec{r})\,\vec{p}$

$3.\ \vec{p}=\vec{a},\ \vec{q}=\vec{b},\ \vec{r}=\vec{a}-2\vec{b}$

$(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{a}-2\vec{b})$

$=\big[\vec{a}\cdot(\vec{a}-2\vec{b})\big]\,\vec{b}-\big[\vec{b}\cdot(\vec{a}-2\vec{b})\big]\,\vec{a}$

$\vec{a}\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=|\vec{a}|^{2}-2(\vec{a}\cdot\vec{b})$

$=1-2(0)=1$

$\vec{b}\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=(\vec{a}\cdot\vec{b})-2|\vec{b}|^{2}$

$=0-2(1)=-2$

$(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{a}-2\vec{b})=(1)\,\vec{b}-(-2)\,\vec{a}$

$=\vec{b}+2\vec{a}=2\vec{a}+\vec{b}$

$\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\right]$

$=\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)$

$=\left|2\vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$

$=4|\vec{a}|^{2}+4(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^{2}$

$=4(1)+4(0)+1$

$=5$

$\therefore\ \left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\right]=5$